Spline
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Ein Spline n-ten Grades ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen mit maximalem Grad n zusammengesetzt ist. Dabei werden an den Stellen, an denen zwei Polynomstücke zusammenstoßen (man spricht auch von Knoten) bestimmte Bedingungen gestellt, etwa dass der Spline (n-1) mal stetig differenzierbar ist.
Handelt es sich bei dem Spline um eine stückweise lineare Funktion, so nennt man den Spline linear (es handelt sich dann um einen Polygonzug), analog gibt es quadratische, kubische usw. Splines.
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Allgemeines
Splines wurden zuerst in einer Veröffentlichung von Isaac Jacob Schoenberg im Jahr 1946 erwähnt.
Splines werden vor allem zur Interpolation und Approximation benutzt. Durch die stückweise Definition sind Splines flexibler als Polynome und dennoch relativ einfach und glatt. Dadurch ergeben sich bei der Spline-Interpolation nicht die Nachteile, die durch die starke Oszillation von Polynomen höheren Grades und deren Unbeschränktheit bei der Polynominterpolation entstehen. Splines lassen sich auch gut benutzen, um Kurven darzustellen. Hier finden sie u.a. Einsatz im CAD. Mathematisch analog lassen sich auf beide Weisen nicht nur Kurven, sondern auch Flächen beschreiben (vergl. NURBS).
Wortherkunft: Der Begriff stammt aus dem Schiffbau: Eine lange dünne Latte (Straklatte, englisch spline), die an einzelnen Punkten durch Nägel fixiert wird, biegt sich genau wie ein kubischer Spline mit natürlicher Randbedingung. Die Straklatte ist dabei bestrebt, ihre durch die Biegungen hervorgerufene innere Spannung zu minimieren bzw. zu verteilen.
Spline-Typen
Kubische Splines
Kubische Splines werden unter anderem zur Berechnung des Bahnverlaufes bei Achterbahnen verwendet um die Beschleunigungen auf die Fahrgäste zu minimieren. Splines finden weitere Anwendung bei der exakten Verlegung der Schienen bei Hochgeschwindigkeitsstrecken der Eisenbahn.
B-Splines
Wie auch der Raum der Polynome ist der Raum der stückweisen Polynome ein Vektorraum und hat eine Basis. Im Kontext numerischer Verfahren, wo Splines häufig eingesetzt werden, ist die Wahl der Basis entscheidend für eventuelle Rundungsfehler und damit für die praktische Einsetzbarkeit. Eine bestimmte Basis hat sich hier als am besten geeignet herausgestellt: sie ist numerisch stabil und erlaubt die Berechnung von Werten der Spline-Funktion mittels einer Drei-Term-Rekursion. Diese so genannten B-Spline-Basisfunktionen haben einen kompakten Träger, sie sind nur auf einem kleinen Intervall von Null verschieden. Änderungen der Koeffizienten wirken sich also nur lokal aus. Splines, die in dieser Basis dargestellt werden, nennt man B-Splines.
B-Spline-Kurve
Eine Spline-Kurve, deren Darstellung auf B-Splines beruht, nennt man B-Spline-Kurve. Bestimmt wird die Kurve durch so genannte De-Boor-Punkte, mit denen sich das Aussehen der Kurve leicht steuern lässt: Die Kurve liegt immer in der konvexen Hülle der De-Boor-Punkte, wird also von ihnen eingeschlossen.
Für Kurven in der Ebene sind die Kontrollpunkte 2-dimensional, für Kurven im Raum 3-dimensional.
Bézier-Spline-Kurve
Eine ähnliche Darstellung haben Bézier-Kurven. Diese basieren nicht auf der oben genannten Basis, sondern auf den Bernsteinpolynomen. Genau wie bei B-Spline-Kurven die De-Boor-Punkte gibt es hier die Bézier-Punkte, die das so genannte Kontrollpolygon bilden und mit denen man die Kurve leicht graphisch darstellen kann.
Splines in CINEMA 4D
Literatur
- Carl de Boor: A practical guide to splines. Springer Verlag, New York 1978 ISBN 0-387-90356-9 und ISBN 3-540-90356-9 (Rev. Aufl. von 2001 ISBN 0-387-95366-3)
- Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002 ISBN 1-55860-737-4
- Günther Nürnberger: "Approximation by Spline Functions", Springer Verlag, 1989, ISBN 3-540-51618-2 und ISBN 0-387-51618-2
- Hartmut Prautzsch, Wolfgang Böhm, Marco Paluszny: Bezier and B-Spline Techniques. Springer Verlag, Berlin 2001 ISBN 3-540-43761-4
- David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. 2006 Springer Science+Business Media, Inc.; ISBN 0-387-24196-5
- Isaac Jacob Schoenberg: Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart. Appl. Math., vol. 4, S. 45–99 und 112–141, 1946.
